Une théorie générale des CNNs équivariants de groupe sur des espaces homogènes

Nous présentons une théorie générale des réseaux de neurones convolutionnels équivariants de groupe (G-CNNs) sur des espaces homogènes tels que l'espace euclidien et la sphère. Les cartes de caractéristiques dans ces réseaux représentent des champs sur un espace de base homogène, et les couches sont des cartes équivariantes entre des espaces de champs. La théorie permet une classification systématique de tous les G-CNNs existants en termes de leur groupe de symétrie, d'espace de base et de type de champ. Nous considérons également une question fondamentale : quel est le type le plus général de carte linéaire équivariante entre des espaces de caractéristiques (champs) de types donnés ? Suivant Mackey, nous montrons que de telles cartes correspondent bijectivement à des convolutions utilisant des noyaux équivariants, et nous caractérisons l'espace de tels noyaux.