Quelle est la limite hélicoïdale d'une courbe spatiale fermée et tordue ?

Ix'(s)| = 1, pour tout s. Pour cette paramétrisation, nous appelons x' le champ de vecteurs tangents (unitaires) le long de la courbe. En utilisant notre observation sur les hélices comme motivation, on appelle une courbe spatiale régulière x : -R > *R une hélice généralisée si son champ de vecteurs tangents x' forme un angle constant 0 avec un vecteur unitaire fixe u, où 0 < 0 < 7-/2. De telles courbes ne peuvent jamais être fermées ; cela signifie que x ne peut pas être une fonction périodique de son paramètre de longueur d'arc. C'est le cas puisque le champ de vecteurs tangents a toujours une composante positive dans la direction de u. La question que nous posons est de savoir à quel point une courbe spatiale fermée peut se rapprocher d'une hélice généralisée. Pour rendre cette question plus précise, nous devons considérer la géométrie différentielle des courbes spatiales. En particulier, nous introduisons d'abord la courbure et la torsion d'une courbe spatiale, puis nous les utilisons pour décrire ce que signifie qu'une courbe spatiale soit une hélice généralisée.