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La Conjecture 3x+1 affirme que l'orbite T de tout entier positif 1, où T associe x\ x/2 pour x pair et x\ (3x+1) /2 pour x. Un ensemble S d'entiers positifs est suffisant si l'orbite de chaque entier positif croise l'orbite de certains membres de S. Dans un article précédent, il a été démontré que chaque suite arithmétique est suffisante. Dans cet article, nous étudions davantage le concept de suffisance. Nous construisons des ensembles de densité asymptotique arbitrairement faible dans les nombres naturels, déterminons la structure des groupes générés par les applications x\ x/2 et\ (3x+1) /2 modulo b pour b premier avec 6, et étudions l'action des groupes sur le graphe orienté associé au système dynamique 3x+1. Cela nous permet d'obtenir des informations sur la distribution des suites arithmétiques et d'obtenir des résultats surprenants concernant certaines suites arithmétiques. En effet, nous montrons que l'orbite T d'un entier positif contient un élément congruent à 2 mod 9, et chaque cycle non trivial et chaque orbite divergente contient un élément congruent à 20 mod 27. Nous généralisons ces résultats pour trouver d'autres ensembles qui sont fortement suffisants de cette manière. Enfin, nous montrons que le digraphe 3x+1 présente une dualité surprenante et belle modulo 2ⁿ pour tout n, et prouvons qu'il ne l'a pas pour aucun autre module. Nous utilisons ensuite des résultats précédents plus profonds pour établir des familles supplémentaires d'ensembles non triviaux fortement suffisants en montrant que pour tout k<n, on peut "plier" le digraphe modulo 2ⁿ sur le digraphe modulo 2ᵏ de manière naturelle.
Monks et al. (mar.) ont étudié cette question.