Propriétés de convergence des méthodes de gradient conjugué non linéaires

Récemment, des contributions importantes sur les études de convergence des méthodes de gradient conjugué ont été réalisées par Gilbert et Nocedal SIAM J. Optim., 2 (1992), pp. 21--42. Ils introduisent une "condition de descente suffisante" pour établir des résultats de convergence globaux. Bien que cette condition ne soit pas nécessaire dans les analyses de convergence des méthodes de Newton et quasi-Newton, Gilbert et Nocedal suggèrent que la condition de descente suffisante, qui a été appliquée par leur algorithme de recherche de ligne en deux étapes, peut être cruciale pour garantir la convergence globale des méthodes de gradient conjugué. Cet article montre que la condition de descente suffisante n'est en réalité pas nécessaire dans les analyses de convergence des méthodes de gradient conjugué. Par conséquent, des résultats de convergence sur les méthodes de type Fletcher--Reeves et Polak--Ribière sont établis en l'absence de la condition de descente suffisante. Pour montrer les différences entre les propriétés de convergence des méthodes de type Fletcher--Reeves et Polak--Ribière, deux exemples sont construits, montrant que ni la bornitude de l'ensemble de niveau ni la restriction ₖ 0 ne peuvent être assouplies pour les méthodes de type Polak--Ribière.