The Discrete Field Equations of the UCT: Alternative to Tensorial Formalisms and the Continuous/Discrete Rupture — Core v6.1.0

Abstract (English) Registration Title for Zenodo: The Discrete Field Equations of the UCT: Alternative to Tensorial Formalisms and the Continuous/Discrete Rupture — Core v6. 1. 0 Abstract: This paper formulates the discrete, geometric alternative to Einstein’s field equations () and continuous bi-metric frameworks (Janus), consolidating the theoretical foundation of the Topological Universe-Crystal Model (UCT Model, or PPJT model) within its Core v6. 1. 0 release. By substituting continuous differential tensors (G_) with discrete phase operators acting on the nodes and faces of the Poincaré Dodecahedral Space (S³/I^*), this work demonstrates that matter does not curve a passive, elastic space-time, but instead propagates through it via harmonic frequency leaps from one crystalline facet to another. The mathematical formalization of this continuous-to-discrete rupture is established through two master equations: The Global Cosmic Phase Equation (Master Equation): This equation binds the vacuum energy density (_) to the intrinsic torsional stiffness of the space-time crystal (T) and the projection operator of the binary icosahedral group (I^*). The angular alignment of local matter (Z) is computed via the trace (Tr) of the matrix product between the atomic Z-Matrix and this projection operator. The Inter-Sheet Heterodyne Coupling Equation (Suture Equation): This equation governs the transition from one phase to the other (front/back or positive/negative sheet) through a heterodyne frequency quantization condition at the Suture points. The local de-crystallization frequency V₃₂ (Z) is defined as a direct function of the element's geometric shape factor ₓ₀ₔ (Z), physically materialized by the diameter of the lattice's pentagonal orifices. This paper presents a complete, solid topological monism, providing rigorous predictive foundations for engineering phase transitions in matter and high-precision frequency resonance technologies. Keywords: Topological Universe-Crystal, Discrete field equations, Torsional stiffness, Z-Matrix, Binary icosahedral group, Poincaré space, Topological Suture, Frequency heterodyning. Résumé (Français) Titre d'enregistrement pour Zenodo: Les Équations de Champ Discret de l'UCT: Alternative aux Formalismes Tensoriels et Rupture Continu/Discret — Core v6. 1. 0 Résumé: Ce manuscrit formule l'alternative géométrique et discrète aux équations de champ d'Einstein () et aux modèles bi-métriques continus (Janus), en consolidant le cadre théorique du Modèle de l'Univers-Cristal Topologique (Modèle UCT, ou modèle PPJT) dans sa version Core v6. 1. 0. En substituant les tenseurs différentiels continus (G_) par des opérateurs de phase discrets agissant sur les nœuds et les faces de l'Espace Dodécaédrique de Poincaré (S³/I^*), ce travail démontre que la matière ne courbe pas un espace-temps élastique passif, mais s'y déplace par sauts de fréquences harmoniques d'une facette cristalline à l'autre. La formalisation mathématique de cette rupture continu/discret repose sur deux équations fondamentales: L'Équation Globale de Phase Cosmique (Équation Maîtresse): Elle relie la densité d'énergie du vide (_) à la rigidité torsionnelle intrinsèque du cristal d'espace-temps (T) et à l'opérateur de projection du groupe d'Icosaèdre binaire (I^*). L'alignement angulaire de la matière locale (Z) est calculé par la trace (Tr) du produit matriciel de la Z-Matrix avec cet opérateur de projection. L'Équation Inter-Nappes de Couplage Hétérodyne (Équation de Suture): Elle régit le basculement d'une phase à l'autre (endroit/envers ou nappe positive/nappe négative) par une condition de quantification de fréquence hétérodyne aux points de Suture. La fréquence de dé-cristallisation locale V₃₂ (Z) y est définie comme une fonction directe du facteur de forme géométrique ₓ₀ₔ (Z) de l'élément, matérialisé par le diamètre des orifices pentagonaux du réseau. Ce travail propose un monisme topologique solide et achevé, offrant des bases prédictives rigoureuses pour l'ingénierie des transitions de phase de la matière et des technologies de résonance fréquentielle. Mots-clés: Univers-Cristal Topologique, Équations de champ discret, Rigidité torsionnelle, Z-Matrix, Groupe d'Icosaèdre binaire, Espace de Poincaré, Suture topologique, Hétérodynage fréquentiel.