संख्यात्मक समूहों में p-निलपोटेंट अधिकतम उपसमूह

मान लीजिए G एक सीमित समूह है, p एक प्रमुख है, और यह मान लें कि G का हर अधिकतम उपसमूह p-निलपोटेंट या G में प्रधान अनु Index है। हम यह प्रमाणित करते हैं, सीमित सरल समूहों की वर्गीकरण पर निर्भर रहते हुए, कि यदि p विषम है और p 5 है, तो G p-समाधान योग्य है, और G की p-लम्बाई अधिकतम 2 है। हालाँकि, p=5 के लिए, ऐसे ही शर्तों को पूरा करने वाला समूह G 5-समाधान योग्य नहीं हो सकता, और उस मामले में हम यह दिखाते हैं कि G/S₅ (G) PSL₂ (11) है, जहाँ S₅ (G) G का 5-समाधान योग्य मूल है। p=2 के लिए, हमारे शर्तों को पूरा करने वाले समूह भी समाधान योग्य नहीं हो सकते। हम साबित करते हैं, अन्य गुणों के बीच, कि एक अद्वितीय सरल समूह जो Lie प्रकार का है, जो कुछ प्रमुख r के मूल्य के लिए PSL₂ (r²ᵃ) परिवार से संबंधित है, ऐसे समूहों की संरचना में शामिल हो सकता है।