हम एक-आयामी क्वांटम स्पिन प्रणालियों में शीर्षological चरण संक्रमण और उच्च बैरी वक्रता का विश्लेषण करते हैं, एक ऐसा ढांचा उपयोग करके जो स्पष्ट रूप से पैरामीटर स्थान पर सममात्रा समूह क्रिया को शामिल करता है। पैरामीटर स्थान के G G -अनुकूल विविक्तकरण के आधार पर, हम समूह सहवर्तन और पैरामीटर-स्थान विभेदक को शामिल करते हैं, जो सममात्रा शीर्षological अविभिन्नताओं के प्रणालीगत निर्माण को सक्षम बनाता है। हम एक निश्चित बिंदु सूत्र निकालते हैं जो उन स्थिति में उच्च बैरी अविभिन्नता के लिए है जहाँ सममात्रा क्रिया में पृथक निश्चित बिंदु होते हैं। यह प्रकट करता है कि हल्दाने और तटस्थ चरणों के बीच का चरण संक्रमण बिंदु एक मोनोपोल-जैसे दोष के रूप में कार्य करता है जहाँ उच्च बैरी वक्रता उत्पन्न होती है। हम पैरामीटर स्थान में सममात्रा कटौती और उपसमूह संरचनाओं के साथ संगतता द्वारा नियंत्रित शीर्षological दोषों की श्रेणीबद्ध संरचनाओं पर आगे चर्चा करते हैं।
K Shiozaki (बुध,) ने इस प्रश्न का अध्ययन किया।