Einheitliche Designs aus zufälligen symmetrischen Quanten-Schaltungen

In dieser Arbeit untersuchen wir Verteilungen von Unitaris, die von zufälligen Quanten-Schaltungen erzeugt werden, die nur Tore enthalten, die eine Symmetrie respektieren. Wir entwickeln einen einheitlichen Ansatz, der für alle Symmetriegruppen anwendbar ist, und erhalten eine Gleichung, die die exakten Design-Eigenschaften solcher Verteilungen bestimmt. Es wurde kürzlich gezeigt, dass die Lokalität der Tore verschiedene Einschränkungen an die Menge der realisierbaren Unitaris auferlegt, die im Allgemeinen erheblich von der betrachteten Symmetrie abhängen. Generell beinhalten solche Einschränkungen Beschränkungen der relativen Phasen zwischen Sektoren mit nicht äquivalenten irreduziblen Darstellungen der Symmetrie. Wir nennen eine Menge von symmetrischen Toren semi-universal, wenn sie alle Unitaris realisieren, die die Symmetrie respektieren, abgesehen von solchen Einschränkungen. Beispielsweise sind im Fall von Z₂, U (1) und SU (2) Symmetrien 2-Qubit-Tore semi-universal auf Qubit-Systemen, während im Fall der SU (d) Symmetrie mit d ≥ 3 Semi-Universialität nur mit 3-Qudit-Toren erreicht werden kann. Das Versagen der Semi-Universialität impliziert, dass die vom Schaltkreis erzeugte Verteilung nicht einmal ein 2-Design für die Haar (gleichmäßige) Verteilung über die Gruppe aller Unitaris ist, die die Symmetrie respektieren. Andererseits, wenn die Semi-Universialität gilt, wird unter milden Bedingungen auf die Tor-Menge, die zum Beispiel im Fall von U (1) und SU (2) gilt, die Verteilung von Unitaris, die durch den zufälligen Schaltkreis erzeugt wird, zu einem t-Design, wobei t polynomiell mit der Anzahl der Qudits wächst mit einem Grad, der durch die Lokalität der Tore bestimmt wird. Allgemeiner präsentieren wir eine einfache lineare Gleichung, die den maximalen Wert der ganzen Zahl t bestimmt, für den die gleichmäßige Verteilung von Unitaris, die von den Schaltungen erzeugt wird, ein t-Design ist, und lösen diese Gleichung für verschiedene Beispiele.