Métricas de Wasserstein adaptadas limitadas

A distância de Wasserstein Wₚ é um exemplo importante de um custo de transporte ótimo. Suas inúmeras propriedades matemáticas, bem como aplicações a diversos campos, como finanças matemáticas e estatísticas, foram bem estudadas nos últimos anos. A distância de Wasserstein adaptada AWₚ estende essa teoria a leis de processos estocásticos de tempo discreto em suas filtrações naturais, tornando-a particularmente adequada para analisar problemas de otimização estocástica dependentes do tempo. Embora as diferenças topológicas entre AWₚ e Wₚ sejam bem compreendidas, suas diferenças como métricas permanecem amplamente inexploradas além do limite trivial Wₚ AWₚ. Este artigo fecha essa lacuna ao fornecer limites superiores de AWₚ em termos de Wₚ por meio da investigação da distância de Wasserstein adaptada suave. Nossos limites superiores são explícitos e são dados por uma soma de Wₚ, o módulo de continuidade de Eder e um termo que caracteriza o comportamento da cauda das medidas. Como consequência, limites superiores sobre Wₚ automaticamente se aplicam a AWₚ sob suposições de regularidade moderadas nas medidas consideradas. Uma instância particular de nossas descobertas é a desigualdade AW₁ CW₁ no conjunto de medidas que têm núcleos Lipschitz. Nosso trabalho também revela como a suavização das medidas afeta a topologia fraca adaptada. De fato, encontramos que a topologia induzida pela distância de Wasserstein adaptada suave exibe uma propriedade de interpolação não trivial, que caracterizamos explicitamente: ela está entre a topologia fraca adaptada e a topologia fraca, e a inclusão é governada pelo decaimento do parâmetro de suavização.