主副行列式の統計物理学：キャビティアプローチ

行列式は、フェルミオンの量子系や学習問題のトレーニングサンプルのような（実質的に）反発的で独立した要素の相互作用系の状態を表現するのに有用です。計算的に挑戦的な問題は、行列の主副行列式の累乗の合計を計算することであり、これは量子フェルミオン系の臨界挙動の研究や学習アルゴリズムのための最大情報量のトレーニングデータの部分集合を見つけることに関連しています。具体的には、正方行列の主副行列は、行列インデックスの集合上のランダムポイントプロセスの統計的重みと見なすことができます。インデックスの各部分集合の確率は、一般に関連する部分行列の行列式の正の幂に比例します。対称かつ正の行列の行列式のガウス表現を使用し、ベッテ近似の下で主副行列の分配関数（または自由エネルギー）とエントロピーを推定します。結果は、局所的な木構造を持つ対角支配行列に対して漸近的に正確であると期待されます。K=2、3、4のランダムレギュラーグラフのラプラシアン行列を考慮し、そのような行列の平均場モデルにおける関連する副行列の構造を正確に特徴づけます。このクラスの対角支配行列において、主副行列の正の幂を増加させても（有限温度の）相転移は観察されず、ここでは逆温度の役割を果たします。