Moduli des faisceaux semistables de rang deux sur des trois-folds Fano rationnels de la série principale

Dans cet article, nous étudions les espaces de modules des faisceaux cohérents semistables de rang deux sur l'espace projectif P³ et les variétés Fano rationnelles suivantes de la série principale : le quadrique tridimensionnel X₂, l'intersection de deux quadratiques à 4 dimensions X₄ et la variété Fano X₅ de degré 5. Pour le quadrique X₂, on prouve que la classe de Chern c₃ des objets semistables de rang deux dans Dᵇ (X₂), y compris les faisceaux, est bornée. Une description explicite est donnée de tous les espaces de modules des faisceaux semistables de rang deux sur X₂, y compris les faisceaux réflexifs, avec une classe maximale c₃₀. Ces espaces s'avèrent être des variétés rationnelles lisses irréductibles dans tous les cas, sauf pour les deux suivants : (c₁, c₂, c₃) = (0, 2, 2) ou (0, 4, 8). Le premier exemple d'un espace de module déconnecté de faisceaux semistables de rang deux avec des classes de Chern fixes sur une variété projective lisse est trouvé - c'est le deuxième de ces cas exceptionnels (c₁, c₂, c₃) = (0, 4, 8) sur le quadrique X₂. Plusieurs nouvelles séries infinies de composants rationnels des espaces de modules des faisceaux semistables de rang deux sur P³, X₂, X₄ et X₅ sont construites, ainsi qu'une nouvelle série infinie de composants irrationnels sur X₄. La bornitude de la classe c₃ est prouvée pour c₁=0 et tout c₂>0 pour des faisceaux réflexifs stables de type général sur les variétés X₄ et X₅.