Funciones Zeta de Curvas sobre Campos Finitos

Las curvas sobre campos finitos son de gran importancia en criptografía y teoría de códigos. A través del estudio de sus funciones zeta, podríamos descubrir información aritmética y geométrica vital sobre ellas y sus jacobianos, incluyendo el número de puntos racionales en este tipo de curvas. En este documento, investigo si es posible construir una curva sobre campos finitos de un género dado g cuya función zeta se da como un producto de funciones zeta de g curvas elípticas, y encuentro métodos alternativos si no es posible. Básicamente, busco las condiciones que esas g curvas elípticas deben satisfacer para que su producto (de sus jacobianos) sea isógeno al jacobiano de una curva de un género dado g. Luego, a partir de esta relación isógena, puedo determinar el polinomio característico del endomorfismo de Frobenius del jacobiano de la nueva curva y, a través de este polinomio característico, puedo determinar así la función zeta de esta nueva curva. Al usar las funciones zeta de curvas en la forma de funciones generadoras, el número de puntos racionales en las curvas puede incluso ser encontrado, lo que puede llevar a más investigaciones relacionadas con algunas aplicaciones en criptografía, teoría de códigos e incluso teoría de la información.