Otimalidade global sob restrições de simetria amenas

Nós perguntamos se existe uma função ou medida que (1) minimiza um funcional convexoso ou risco dado e (2) satisfaz uma propriedade de simetria especificada por um grupo ameno de transformações. Exemplos de tais propriedades de simetria são invariância, equivariância ou quasi-invariância. Nossos resultados se baseiam em ideias antigas de Stein e Le Cam e em médias de grupo aproximações que aparecem em teoremas ergódicos para grupos amenos. Uma classe de conjuntos convexos conhecida como orbitopes em análise convexa emerge como crucial e estabelecemos propriedades de tais orbitopes em configurações não paramétricas. Também mostramos como um dispositivo simples chamado cociclo pode ser usado para reduzir diferentes formas de simetria a um único problema. Como aplicações, obtemos resultados sobre incorporações de média de núcleo invariantes e um teorema de Monge-Kantorovich sobre a optimalidade de planos de transporte sob restrições de simetria. Também explicamos conexões com o teorema de Hunt-Stein sobre testes invariantes.