Lᵖ-Fisher–RaoメトリックとAmari–C̆encov接続

要旨 我々は、Lᵖ L p -Fisher–RaoメトリックFₚ F pのファミリーを導入する。これは、p (1, ) p ∈ (1, ∞)の範囲にあり、古典的なFisher–RaoメトリックF₂ F 2を一般化する。これは密度の空間{Dens}_+ (M) Dens + (M)および確率密度{Prob} (M) Prob (M)の両方にわたる。次に、情報幾何学からのAmari–C̆encov α -接続 ^ () ∇ (α)との関係を研究する。{Dens}_+ (M) Dens + (M)において、Fₚ F pと^ () ∇ (α)の測地線方程式は一致し、p = 2/ (1-) p = 2 / (1 - α)のとき、両者はLᵖ (M) L p (M)上の標準構造の引き戻しであり、測地線は単純に直線となる。特に、これはα-測地線の新しい変分解釈をエネルギー最小化曲線として与える。{Prob} (M) Prob (M)において、Fₚ F pと^ () ∇ (α)の測地線はLᵖ (M) L p (M)の単位球面上の自然な操作の引き戻しとみなすことができるが、この場合p=2 p = 2でない限り一致しない。 この変換を用いて、α -接続の測地線方程式を解き、測地線は単位球面への直線の射影の引き戻しであることを示し、正の部分を離れると有限時間後に常に存在を失う。これにより拡張されたProudman–Johnson方程式の解の幾何学的構造が明らかになり、それを高次元に一般化する。さらに、Fₚ F pの関連テンソルを計算し、^ () ∇ (α)との関係を研究する。