점 기반 확산 모델을 위한 말리야빈 미적분학

우리는 말리야빈 미적분학을 기반으로 하는 새로운 프레임워크를 도입하여 점 함수 pₜ (x) 즉, 확률 미분 방정식(SDE)의 해와 관련된 로그 밀도의 기울기를 위한 정확한 해석적 표현을 도출합니다. 우리의 접근 방식은 고전적인 부분 적분 기법을 현대의 확률 분석 도구, 예를 들어 비스무트의 공식 및 말리야빈 미적분학과 결합하며 선형 및 비선형 SDE 모두에 적용됩니다. 이 과정에서 우리는 말리야빈 파생물, 그 쌍대, 말리야빈 발산(Skorokhod 적분) 및 확산 생성 모델 간의 철저한 연결성을 확립하여 pₜ (x)를 계산하기 위한 체계적인 방법을 제공합니다. 선형 경우에는 우리의 공식이 포커-플랑크 방정식의 해로부터 도출된 해석적 점 함수와 일치함을 보여주는 상세한 분석을 제공합니다. 비선형 SDE의 경우, 상태 독립적 확산 계수에 대한 pₜ (x)의 폐형식 표현을 도출합니다. 제안된 프레임워크를 여러 생성 작업에 걸쳐 평가한 결과, 그 성능은 최첨단 방법과 비교할 수 있음을 발견했습니다. 이러한 결과는 더 넓은 SDE 클래스에 일반화될 수 있으며, 새로운 점 기반 확산 생성 모델에 대한 길을 열어줍니다.