Regularity of solutions to the Schrödinger equation

Soit f dans l'espace de Schwartz S(R n ) et soit S t f(x)=u(x,t)=∫ Rn exp(ix•ξ)•exp(it|ξ| 2 )•f^(ξ)dξ, x∈R n , t∈R. f^ est la transformee de Fourier de f. On considere u solution de l'equation de Schrodinger Δu=i(δu/δt). On pose S*f(x)=sup 0<t<1 |S t f(x)|, x∈R n . On introduit des espaces de Sobolev H S en posant H s ={f∈S'; ∥f∥ Hd s<∞}, s∈R, ou ∥f∥ Hd s=(∫ Rn (1+|ξ| 2 ) s |f^(ξ)| 2 dξ) 1/2 . On etudie pour quelles valeurs de s on a (∫ B |S*f(x)| 2 dx) 1/2 ≤C B |f| Hd s, f∈S(R n ) pour toutes les boucles B de R n