Este artículo generaliza sistemáticamente las fórmulas de suma de convergencia rápida para la función zeta de Riemann de orden complejo a series de tipo alternante y funciones generalizadas relacionadas. Primero presentamos representaciones integrales y expansiones de series de convergencia rápida para la función eta de Dirichlet, probando rigurosamente la convergencia absoluta y la tasa de convergencia super-exponencial en el semiplano Re(s) > 0. Luego, el método se extiende a la función eta de Hurwitz, valores zeta múltiples alternantes, funciones zeta q-alternantes y funciones L de Dirichlet. Al introducir polinomios de Bernoulli, polinomios de Bernoulli alternantes, números de Bernoulli q, y números de Bernoulli generalizados, se establece un marco unificado de convergencia rápida. Los dominios y tasas de convergencia de cada expansión se analizan en detalle, demostrando la convergencia super-exponencial. Se proporcionan derivaciones matemáticas completas, incluyendo transformaciones integrales, técnicas de funciones generadoras, integración en contornos y estimaciones analíticas rigurosas. Se diseña un algoritmo numérico adaptativo con estimaciones de error estrictas, y experimentos numéricos completos y auto-consistentes verifican la validez de todas las fórmulas. Se discuten las aplicaciones en teoría cuántica de campos y física estadística, demostrando ventajas significativas en cálculos prácticos. El artículo también formula y prueba varias relaciones conjecturadas como teoremas, proporcionando pruebas rigurosas completas en los apéndices.
Shifa Liu (miércoles) estudió esta cuestión.