On singular double phase problem with variable exponents and convolution term

In this article, we consider the following singular double phase problem with variable exponents and convolution term of the form: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <m:mfenced close="" open="{"> <m:mrow> <m:mtable class="cases"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mo>−</m:mo> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="script">T</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>q</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>λ</m:mi> <m:mi>s</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>γ</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mfenced close=")" open="("> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mo>∫</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>h</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mfrac> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>h</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow>