Aquesta tesi està dividida asimètricament en dues parts: la primera desenvolupa una teoria per transport òptim quàntic, la segona estableix una regla de la cadena per l'entropia relativa quàntica. Aquests dos temes, aparentment independents, es connecten en aquesta tesi mitjançant la noció d'estats en el temps (''states over time''). Aquest concepte té l'objectiu de caracteritzar les propietats de l'evolució de sistemes quàntics, en contrast amb el concepte de ''estats en l'espai'', més familiar, que descriu les correlacions entre estats espacialment separats. Descriure correlacions quàntiques en el temps resulta ser considerablement més subtil i intricat, cosa que requereix noves estructures matemàtiques per capturar la composició i transformació d'aquests sistemes. En la primera part, dedicada a transport òptim quàntic (''quantum optimal transport''), busquem un anàleg quàntic a la teoria clàssica mitjançant la identificació la codificació adequada dels elements del problema---en particular, l'estat inicial (una matriu densitat) i els plans de transport admissibles (canals quàntics)---en un sol objecte matemàtic anomenat acoblament (''coupling''). Comencem amb una formulació ingènua, inspirada per la formulació clàssica, basada en l'ús d'estats quàntics conjunts com a acoblament. Desenvolupem aquest acoblament i identifiquem les seves peculiars (indesitjables) propietats per motivar la nostra cerca amb un enfocament diferent. En el nou enfocament, que constitueix el tema principal d'aquest treball, busquem un acoblament bilineal que permeti la composició natural de canals, per tal d'obtenir una noció consistent d'estat en el temps. Amb aquesta restricció, el producte de Jordan emergeix com a noció físicament motivada d'acoblament. Partint d'això, definim el cost òptim de transport quàntic com la minimització d'un funcional de cost sobre tots els canals admissibles que connecten els dos estats i estudiem les seves propietats físiques i matemàtiques. Parem especial atenció a costos invariants sota accions unitàries, cosa que permet simplificar i resoldre analíticament el problema per estats que commuten o amb altres estructures. Aquests exemples revelen profundes diferències estructurals entre les nocions clàssiques i quàntiques de transport òptim. En la segona part, dedicada a regles de la cadena per l'entropia relativa quàntica, revisitem una de les mesures de distingibilitat més fonamentals en teoria de la informació quàntica, que destaca per la seva significança operacional en tests d'hipòtesi. En teoria de probabilitat clàssica, l'entropia relativa compleix una regla de la cadena que descompon el canvi total en entropia relativa sota l'acció de dos processos estocàstics en una mitjana divergències de les distribucions puntuals sota l'acció dels processos. Tanmateix, en el cas quàntic només es coneixien versions asimptòtiques, regularitzades d'aquesta regla de la cadena. En aquesta obra, derivem dues regles de la cadena quàntiques basades en un sol sistema. La primera generalitza la noció clàssica de distribucions puntuals a un conjunt d'estats quàntics construïts per l'acció d'operadors de mesura sobre estats en el temps. La segona manté projectors ortonormals de rang u, però imposa una condició suficient que restringeix la generalitat de l'equació. Junts, aquests resultats mostren que és possible obtenir regles de la cadena significatives en el règim d'un sol sistema, però també ressalten els obstacles fonamentals a una generalització total i la necessitat per desigualtats més ajustades.
Matt Hoogsteder Riera (Wed,) studied this question.