The MokraBela Theorem (Version 3.0) — English & Arabic Editions

Version 3.0 — English & Arabic Complete Editionsالنسخة 3.0 — الطبعتان العربية والإنجليزية الكاملتان ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━THE THEOREM — النظرية━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ [English]An odd integer p > 1 is prime if and only if it cannot be expressed as k(2n + k) for any odd integer k ≥ 3 and any non-negative integer n ≥ 0. [عربي]عدد صحيح فردي p > 1 يكون أولياً إذا وفقط إذا لا يمكن كتابته بالصورة k(2n + k) لأي عدد صحيح فردي k ≥ 3 ولأي عدد صحيح غير سالب n ≥ 0. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━SIMPLE EXPLANATION — شرح مبسط━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ [English]Every odd composite (non-prime) number has a "fingerprint":it can always be written as a product of two odd numbers whose difference is divisible by 2. For example: 15 = 3 × 5 → k=3, n=1 → 3(2×1+3) = 15 ✓ composite 21 = 3 × 7 → k=3, n=2 → 3(2×2+3) = 21 ✓ composite 11 = ? → no k and n exist ✓ prime The key identity behind the theorem: k(2n + k) = (n+k)² − n²Every composite odd number is the difference of two squares.A prime number can never be expressed this way. [عربي]كل عدد فردي مركّب (غير أولي) له "بصمة" مميزة:يمكن دائماً كتابته على شكل حاصل ضرب عددَين فرديَّين. أمثلة: 15 = 3 × 5 → k=3, n=1 → 3(2×1+3) = 15 ✓ مركّب 21 = 3 × 7 → k=3, n=2 → 3(2×2+3) = 21 ✓ مركّب 11 = ؟ → لا يوجد k و n ✓ أولي الهوية الجبرية الأساسية: k(2n + k) = (n+k)² − n²كل عدد فردي مركّب هو فرق بين مربعَين.الأعداد الأولية لا يمكنها أبداً أن تكون كذلك. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━WHAT'S NEW IN VERSION 3.0ما الجديد في الإصدار 3.0━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ - Full Arabic edition added — النسخة العربية الكاملة- Expanded English edition with complete rigorous proof- Full originality statement with literature comparison- 2,614 verified prime numbers discovered (up to 62,423)- Prime generation via n²−n+p with 44 seed primes- Performance benchmarks up to 16-digit numbers- Zero errors in verification up to 10,000 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━FILES — الملفات━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ - MokraBela_Complete_EN.pdf — Full English edition- MokraBela_Complete_AR.pdf — النسخة العربية الكاملة- MokraBela_Supporting_Paper.pdf — Original V2.0 (preserved) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━VERSION HISTORY — تاريخ الإصدارات━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ - V1.0 — First submission (historical record) DOI: 10.5281/zenodo.18869236- V2.0 — Corrected and expanded (English) DOI: 10.5281/zenodo.18877838- V3.0 — Current (English + Arabic) DOI: 10.5281/zenodo.18877838 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ORIGINALITY — الأصالة العلمية━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ [English]The algebraic identity a²−b²=(a−b)(a+b) is classical.The specific parametrization k(2n+k) that organizes ALL odd composite numbers into a systematic structure — where primality is characterized by the absence of such a representation — appears to be an original contribution not previously documented in the mathematical literature. [عربي]هوية فرق المربعين كلاسيكية ومعروفة منذ القدم.أما التحليل المحدد k(2n+k) الذي يُنظّم جميع الأعداد الفردية المركّبة في بنية منهجية — حيث تتمثّل أولية أي عدد فردي بغياب هذا التمثيل — فيبدو إسهاماً أصيلاً لم يُوثَّق سابقاً في الأدبيات الرياضية. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ © 2026 Mokrane Ahmed — مقران أحمدSidi Bel Abbès, Algeria — سيدي بلعباس، الجزائرmokranedido@gmail.com