Spectral Mean Flow and Variance Dynamics of Completely Monotone Functions

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━English━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━We study functions representable as finite positive mixtures of exponential modes, F (t) = Σ aₖ exp (−λₖt), and their associated effective rate r (t) = −F′ (t) /F (t). We prove three exact results: a universal variance identity r′ (t) = −Varₜ (λ) ≤ 0; a bi-exponential Riccati closure r′ (t) = − (r−p) (q−r) which characterizes observables of the form Ae^−pt + Be^−qt; and a cumulant hierarchy r^ (n) (t) = (−1) ⁿ κₙ₊₁ (t). The Riccati dynamics is the projective image of a simple exponential flow in a hidden coordinate z (t). This provides a dynamical interpretation of hazard-rate evolution in exponential mixtures. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Français━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Nous étudions les fonctions représentables comme mélanges positifs finis de modes exponentiels et le taux effectif associé r (t) = −F′ (t) /F (t). Nous établissons trois résultats exacts: une identité de variance universelle r′ (t) = −Varₜ (λ) ≤ 0 ; une fermeture de Riccati bi-exponentielle r′ (t) = − (r−p) (q−r) caractérisant les observables de la forme Ae^−pt + Be^−qt ; et une hiérarchie de cumulants r^ (n) (t) = (−1) ⁿ κₙ₊₁ (t). La dynamique de Riccati est l'image projective d'un flot exponentiel simple dans une coordonnée cachée z (t). ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Español━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Estudiamos funciones representables como mezclas positivas finitas de modos exponenciales y la tasa efectiva asociada r (t) = −F′ (t) /F (t). Establecemos tres resultados exactos: una identidad de varianza universal r′ (t) = −Varₜ (λ) ≤ 0; un cierre de Riccati bi-exponencial r′ (t) = − (r−p) (q−r) que caracteriza los observables de la forma Ae^−pt + Be^−qt; y una jerarquía de cumulantes r^ (n) (t) = (−1) ⁿ κₙ₊₁ (t). La dinámica de Riccati es la imagen proyectiva de un flujo exponencial simple en una coordenada oculta z (t). ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Deutsch━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Wir untersuchen Funktionen, die als endliche positive Mischungen exponentieller Moden darstellbar sind, und die zugehörige effektive Rate r (t) = −F′ (t) /F (t). Wir beweisen drei exakte Resultate: eine universelle Varianzidentität r′ (t) = −Varₜ (λ) ≤ 0; einen bi-exponentiellen Riccati-Abschluss r′ (t) = − (r−p) (q−r), der Observablen der Form Ae^−pt + Be^−qt charakterisiert; und eine Kumulantenhierarchie r^ (n) (t) = (−1) ⁿ κₙ₊₁ (t). Die Riccati-Dynamik ist das projektive Bild eines einfachen Exponentialflusses in einer verborgenen Koordinate z (t). ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Português━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Estudamos funções representáveis como misturas positivas finitas de modos exponenciais e a taxa efetiva associada r (t) = −F′ (t) /F (t). Provamos três resultados exatos: uma identidade de variância universal r′ (t) = −Varₜ (λ) ≤ 0; um fechamento de Riccati bi-exponencial r′ (t) = − (r−p) (q−r) que caracteriza observáveis da forma Ae^−pt + Be^−qt; e uma hierarquia de cumulantes r^ (n) (t) = (−1) ⁿ κₙ₊₁ (t). A dinâmica de Riccati é a imagem projetiva de um fluxo exponencial simples numa coordenada oculta z (t). ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Italiano━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Studiamo funzioni rappresentabili come miscele positive finite di modi esponenziali e il tasso effettivo associato r (t) = −F′ (t) /F (t). Dimostriamo tre risultati esatti: un'identità di varianza universale r′ (t) = −Varₜ (λ) ≤ 0; una chiusura di Riccati bi-esponenziale r′ (t) = − (r−p) (q−r) che caratterizza gli osservabili della forma Ae^−pt + Be^−qt; e una gerarchia di cumulanti r^ (n) (t) = (−1) ⁿ κₙ₊₁ (t). La dinamica di Riccati è l'immagine proiettiva di un semplice flusso esponenziale in una coordinata nascosta z (t). ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━中文 — Chinese━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━我们研究可表示为有限正指数模式混合的函数 F (t) = Σ aₖ exp (−λₖt) 及其有效速率 r (t) = −F′ (t) /F (t) 。我们证明三个精确结果: 普适方差恒等式 r′ (t) = −Varₜ (λ) ≤ 0;双指数Riccati闭合方程 r′ (t) = − (r−p) (q−r), 刻画形如 Ae^−pt + Be^−qt 的观测量;以及累积量层次结构 r^ (n) (t) = (−1) ⁿ κₙ₊₁ (t) 。Riccati动力学是隐坐标 z (t) 中简单指数流的射影像。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━日本語 — Japanese━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━指数モードの有限正混合として表現可能な関数 F (t) = Σ aₖ exp (−λₖt) と有効レート r (t) = −F′ (t) /F (t) を研究する。三つの厳密な結果を証明する: 普遍的分散恒等式 r′ (t) = −Varₜ (λ) ≤ 0;二指数リッカチ閉包 r′ (t) = − (r−p) (q−r) (Ae^−pt + Be^−qt 型の観測量を特徴づける) ;累積量階層 r^ (n) (t) = (−1) ⁿ κₙ₊₁ (t) 。リッカチ力学は隠れ座標 z (t) における単純な指数流の射影像である。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Русский — Russian━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Мы изучаем функции, представимые как конечные положительные смеси экспоненциальных мод, и связанную эффективную скорость r (t) = −F′ (t) /F (t). Доказываются три точных результата: универсальное тождество дисперсии r′ (t) = −Varₜ (λ) ≤ 0; би-экспоненциальное замыкание Риккати r′ (t) = − (r−p) (q−r), характеризующее наблюдаемые вида Ae^−pt + Be^−qt; и иерархия кумулянтов r^ (n) (t) = (−1) ⁿ κₙ₊₁ (t). Динамика Риккати является проективным образом простого экспоненциального потока в скрытой координате z (t). ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━العربية — Arabic━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ندرس الدوال القابلة للتمثيل كمزيج موجب منتهٍ من الأنماط الأسية، والمعدل الفعلي المرتبط بها r (t) = −F′ (t) /F (t). نثبت ثلاثة نتائج دقيقة: هوية التباين العالمية r′ (t) = −Varₜ (λ) ≤ 0؛ والإغلاق الريكاتي ثنائي الأسي r′ (t) = − (r−p) (q−r) الذي يُميّز المشاهدات من الشكل Ae^−pt + Be^−qt؛ وتسلسل هرمي للمجموعات r^ (n) (t) = (−1) ⁿ κₙ₊₁ (t). ديناميكيات ريكاتي هي الصورة الإسقاطية لتدفق أسي بسيط في إحداثي مخفي z (t).