Die vorliegende Arbeit befasst sich mit emergenten Phänomenen in Zusammenhang mit biologischen Systemen mittels Modellierung, formaler Herleitungen und numerischer Simulationen multiskaliger Dynamiken. Eine zentrale Herausforderung in der Entwicklung der Modelle besteht darin, nicht nur die mikroskopischen Teilcheninteraktionen realistisch zu erfassen, sondern gleichzeitig auch auf meso- und makroskopischer Ebene mathematisch und numerisch handhabbar zu bleiben. Hierzu wenden wir Methoden der kinetischen Theorie, des Coarse-Grainings sowie der Numerik in drei komplementären Projekten an. Zunächst führen wir ein teilchenbasiertes Modell ein, welches die Exklusionsinteraktionen anisotroper Teilchen aufgrund ihres Volumens mithilfe eines gaußschen Repulsionspotentials beschreibt. Mittels Mean-Field- und hydrodynamischer Grenzwerte leiten wir formal die zugehörigen kinetischen und makroskopischen Gleichungen her und zeigen, dass dieses Potential auf natürliche Weise nematische Ausrichtung sowie nichttriviale räumliche Effekte induziert. Ergänzend lösen wir das teilchenbasierte System numerisch, um Parameterbereiche zu identifizieren, in denen die makroskopische Beschreibung des Systems gültig ist. Der hydrodynamische Grenzwert führt zu einem nichtlinearen Diffusionsterm für die Teilchendichte, der von der Anisotropie der Teilchen beeinflusst wird, sowie zu einer gekoppelten Transport-Diffusions-Gleichung für die mittlere Orientierung der Teilchen. Des Weiteren präsentieren und analysieren wir eine FFT (Fast Fourier Transformation)-basierte Spektralmethode zur Simulation eines makroskopischen Modells unter periodischen Randbedingungen, das die Bildung biologischer Netzwerke erfasst. Diese Methode ist verglichen zu impliziten Verfahren einfacher zu implementieren und ermöglicht effiziente Berechnungen. Wir reproduzieren den in der Literatur beschriebenen Einfluss der Aktivierungs- und Diffusionsparameter sowie des metabolischen Exponenten auf die Netzwerkmorphologie und analysieren das Konvergenzverhalten in Bezug auf die Gitterverfeinerung. Abschließend betrachten wir ein Modell zur Fasernetzwerkbildung. In diesem Modell können Fasern Bindungen miteinander eingehen, die sich auch spontan wieder lösen. Wir erweitern dieses Modell um ein Repulsionspotential und leiten die entsprechende kinetische Gleichung formal her. Im Zuge dessen identifizieren wir zwei Annahmen, die für den rigorosen Mean-Field-Beweis entscheidend sind. Somit verdeutlicht diese Herleitung wesentliche analytische Herausforderungen, deren Bewältigung für zukünftige rigorose Beweise zentral sein wird.
Claudia Mußnig-Wytrzens (Wed,) studied this question.