A Note on the Sobolev and Gagliardo--Nirenberg Inequality when 𝑝 > 𝑁

It is known that the Sobolev space <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>W</m:mi> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {W1,p(RN)} is embedded into <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>L</m:mi> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mo>/</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {LNp/(N-p)(RN)} if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo><</m:mo> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:math> {p<N} and into <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>L</m:mi> <m:mi mathvariant="normal">∞</m:mi> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {L∞(RN)} if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:math> {p>N} . There is usually a discontinuity in the proof of those two different embeddings since, for <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:math> {p>N} , the estimate <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mo fence="true" stretchy="false">∥</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo fence="true" stretchy="false">∥</m:mo> </m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">∞</m:mi> </m:msub> <m:mo>≤</m:mo> <m:mrow> <m:mi>C</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mo fence="true" stretchy="false">∥</m:mo> <m:mrow> <m:mi>D</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo fence="true" stretchy="false">∥</m:mo> </m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> <m:mo>/</m:mo> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mo fence="true" stretchy="false">∥</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo fence="true" stretchy="false">∥</m:mo> </m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>-</m:mo> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> <m:mo>/</m:mo> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:msubsup> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> <jats: