Bifurcation and multiplicity results for nonlinear elliptic problems involving critical Sobolev exponents

In this paper we study the existence of nontrivial solutions for the boundary value problem \{ {align*} −\:Δ u\:−\:λ u\:−\:u|u|^{2⁎\:−\:2}\: &= \:0\:\: && in\:\:Ω \\ u \: &= \: 0 && on\:∂Ω \\ {align*} . when Ω⊂R^n is a bounded domain, n⩾ 3 , 2⁎\: = \:2n/n−2 is the critical exponent for the Sobolev embedding H₀¹(Ω ) ⊂ Lᵖ(Ω ) , λ is a real parameter. We prove that there is bifurcation from any eigenvalue λ_j of − Δ and we give an estimate of the left neighbourhoods ]λ ⱼ⁎,λ _j] of λ_j , j∈ N , in which the bifurcation branch can be extended. Moreover we prove that, if λ ∈{]λ_j⁎,λ_j[} , the number of nontrivial solutions is at least twice the multiplicity of λ_j . The same kind of results holds also when Ω is a compact Riemannian manifold of dimension n ⩾ 3 , without boundary and Δ is the relative Laplace–Beltrami operator. Résumé Dans cet article, nous étudions l’existence de solutions non triviales pour le problème aux limites \{ {align*} −\:Δ u\:−\:λ u\:−\:u|u|^{2⁎\:−\:2}\: &= \:0\:\: && in\:\:Ω \\ u \: &= \: 0 && on\:∂Ω \\ {align*} . où Ω⊂R^n est un domaine borné, n⩾ 3 , 2⁎\: = \:2n/n−2 est l’exposant critique pour le plongement de Sobolev H₀¹(Ω ) ⊂ Lᵖ(Ω ) , λ est un paramètre réel. Nous démontrons que toute valeur propre λ_j de − Δ est une valeur de bifurcation, et nous donnons une estimation des voisinages ]λ ⱼ⁎,λ _j] de λ_j où existent des solutions non triviales. Nous montrons en outre que le nombre de celles-ci est au moins le double de la multiplicité de λ_j . On ales mêmes résultats quand Ω est une variété riemannienne compacte de dimension n ≧ 3 , et Δ l’opérateur de Laplace–Beltrami.