Sobre a distribuição do maior valor próprio na análise de componentes principais

Seja x (1) o quadrado do maior valor singular de uma matriz n × p X, cujas entradas são variáveis gaussianas padrão independentes. Equivalentemente, x (1) é a maior variância do componente principal da matriz de covariância X'X, ou o maior valor próprio de uma distribuição Wishart p­variada com n graus de liberdade e covariância identidade. Considere o limite de grandes p e n com n/p = 1. Quando centralizado por ₚ = (n-1 + p) ² e escalado por ₚ = (n-1 + p) (1/n-1 + 1/p^1/3, a distribuição de x (1) se aproxima da lei de Tracey-Widom de ordem 1, que é definida em termos da equação diferencial de Painlevé II e pode ser avaliada e tabulada numericamente em software. Simulações mostram que a aproximação é informativa para n e p tão pequenos quanto 5. O limite é derivado a partir de um resultado correspondente para matrizes Wishart complexas usando métodos da teoria de matrizes aleatórias. O resultado sugere que alguns aspectos da teoria de distribuição multivariada de grandes p podem ser mais fáceis de aplicar na prática do que seus correspondentes com p fixo.