On parabolic initial-boundary value problems with critical growth for the gradient

We prove the existence of weak solutions for the initial-boundary value problem of the quasilinear parabolic equation ∂u/∂t + A(u) + g(x,\:t,\:u,\:Du) = f. Here A is a Leray–Lions type operator from V= L^p(o,T,W1,p_0(Ω)) to its dual space V^* , g is a nonlinear term with critical growth with respect to Du satisfying a sign condition and no growth condition with respect to u ; f is a given element in V^* . Résumé Nous démontrons l’existence des solutions faibles du problème parabolique quasilinéaire ∂u/∂t + A(u) + g(x,\:t,\:u,\:Du) = f. avec conditions aux limites et initiales. Ici A est un opérateur de type Leray–Lions de l’espace V= L^p(o,T,W1,p_0(Ω)) à valeurs dans V^* , g est un terme non linéaire à croissance critique en Du , qui satisfait une condition de signe et dont la croissance en u n’est pas limitée; ƒ est un élément donné de V^* .