Hidden Structures of the Triptych — Version 2: Unifying algebraic structure ℋc, law c = 3 − N (uPell) and universal Galois theorem

EN DESCRIPTION This note extends the Algebraic Note TC V1 (DOI 10. 5281/zenodo. 19581493) by identifying a unifying structure underlying the algebraic invariants of the Conceptual Triptych (TC) and the Extended Triptych (TE). We define the family of quadratic polynomials ℋc = c·x² − a·x − 1 = 0, a ∈ ℤ and show that nine fundamental invariants of TC/TE (Table 3. 1) all have algebraic norm −1/c independently of a. We establish the empirical law c = 3 − N (ufundamental), where N is the norm of the fundamental Pell unit of the associated real quadratic field: the law holds for all four simple fields of TC/TE (ℚ (√2), ℚ (√3), ℚ (√5), ℚ (√6) ), with confirmed extrapolation for ℚ (√3). We prove a universal Galois theorem for the composita ℚ (√D₁, …, √Dₙ): for any product x = x₁·…·xₙ of canonical roots of the ℋ₂㶁, the global norm equals N (x) = (−1) ^ (n·2^ (n−1) ) / (c₁·c₂·…·cₙ) ^ (2^ (n−1) ), verified on five composita (three for n = 2, two for n = 3). We finally propose a physical interpretation of the algebraic results through the sector decomposition hypothesis of the TC: physical fields living in composita emerge as products of independent sub-fields, one for each relevant quadratic field. Version 2 — 17 April 2026. Supplement to TC V22 (DOI 10. 5281/zenodo. 19579065) and TE V3 (DOI 10. 5281/zenodo. 19626511). DESCRIPTION FR Cette note prolonge la Note algébrique TC V1 (DOI 10. 5281/zenodo. 19581493) en identifiant une structure unificatrice sous-jacente aux invariants algébriques du Triptyque Conceptuel (TC) et du Triptyque Étendu (TE). On définit la famille de polynômes quadratiques ℋc = c·x² − a·x − 1 = 0, a ∈ ℤ et l’on montre que neuf invariants fondamentaux de TC/TE (Tableau 3. 1) ont pour norme algébrique −1/c indépendamment de a. On établit la loi empirique c = 3 − N (ufondamentale), où N est la norme de l’unité fondamentale de Pell du corps quadratique réel associé: loi vérifiée sur les quatre corps simples du TC/TE (ℚ (√2), ℚ (√3), ℚ (√5), ℚ (√6) ), avec confirmation de l’extrapolation pour ℚ (√3). On démontre un théorème galoisien universel pour les composita ℚ (√D₁, …, √Dₙ): pour tout produit x = x₁·…·xₙ de racines canoniques des ℋ₂㶁, la norme globale vaut N (x) = (−1) ^ (n·2^ (n−1) ) / (c₁·c₂·…·cₙ) ^ (2^ (n−1) ), vérifié sur cinq composita (trois pour n = 2, deux pour n = 3). On propose enfin une lecture physique des résultats algébriques à travers l’hypothèse de sectorisation du TC: les champs physiques qui vivent dans les composita émergent comme produits de sous-champs indépendants, un par corps quadratique pertinent. Version 2 — 17 avril 2026. Supplément à TC V22 (DOI 10. 5281/zenodo. 19579065) et TE V3 (DOI 10. 5281/zenodo. 19626511).