Somas de Lucas Ponderadas Polinomialmente, Modelos de Estado Finitos Semente–Filtro e Periodicidade Modular

Este artigo apresenta uma extensão polinomial teoricamente segura da teoria da periodicidade modular para somas de Lucas ponderadas pseudorandomicamente desenvolvida nos contextos multiplicativo e afim. Estudamos pesos da forma aₙ f (k^n-1) t, onde f (x) ∈ ℤ[x], t ∈ 2, e (k, t) = 1. A observação básica é que o mecanismo de estado finito é controlado não pelos valores dos pesos em si, mas pela órbita da semente multiplicativa sₙ = k^n-1 t. A sequência de peso polinomial é então obtida aplicando o filtro f a esta órbita cíclica da semente. Esta perspectiva semente–filtro mantém o espaço de estados no subgrupo cíclico gerado por k módulo t, portanto a dinâmica a nível de primos se reduz à mesma coordenada unidimensional da semente que aparece na teoria multiplicativa. Provamos um modelo bijetivo do espaço de estados módulo primos ímpares, periodicidade pura das somas ponderadas módulo p, e o limite superior p lcm ( (p), ₏, ₏₎₋ₘ), onde (p) é o período de Lucas módulo p e ₏, ₏₎₋ₘ é o período reduzido do peso polinomial módulo p. Em seguida, construímos famílias explícitas de colapso para as quais ₏, ₏₎₋ₘ = 1 enquanto o período da semente ambiente ordₜ (k) é arbitrariamente grande, mostrando que o fenômeno de inexistência do limite inferior persiste para filtros polinomiais. Para o caso do monômio f (x) = xᵐ, provamos a fórmula exata ₏⋒, ₏₎₋ₘ = ord₏⋒ (kᵐ) = ord₏⋒ (k) / (m, ord₏⋒ (k) ) para todo r ≥ 1. Finalmente, isolamos as relações gerais de divisores de potências-primas que permanecem válidas para filtros polinomiais arbitrários e explicamos precisamente onde as leis exatas de elevação dependem do filtro. O artigo está escrito de modo que toda afirmação ao nível de teorema seja definida antes do uso, provada integralmente, e não dependa de terminologia circular.