Traces of partition Eisenstein series

We study “partition Eisenstein series”, extensions of the Eisenstein series <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>G</m:mi> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>τ</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {G₂ₖ(τ)} , defined by <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msup> <m:mn>1</m:mn> <m:msub> <m:mi>m</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> <m:msup> <m:mn>2</m:mn> <m:msub> <m:mi>m</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">…</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msup> <m:mi>k</m:mi> <m:msub> <m:mi>m</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:msub> </m:msup> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>⊢</m:mo> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>↦</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>G</m:mi> <m:mi>λ</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>τ</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>:=</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>G</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>τ</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:msub> <m:mi>m</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>G</m:mi> <m:mn>4</m:mn> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>τ</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:msub> <m:mi>m</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">⋯</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>G</m:mi> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>τ</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:msub> <m:mi>m</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:msub> </m:msup> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>.</m:mo> </m:mrow> </m:math> λ=(1^{m₁},2^{m₂},,k^{mₖ}) k↦ Gλ(τ)% :=G₂(τ)^{m₁}G₄(τ)^{m₂}⋯ G₂ₖ(τ)^{mₖ}. For functions <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mo>:</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="script">𝒫</m:mi> <m:mo>↦</m:mo> <m:mi>ℂ</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {φ:P} on partitions, the weight <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mn mathvariant="normal">2</m:mn> <m:mo mathvariant="italic">⁢</m:mo> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:math> {2k} </jat