On the gaps between consecutive primes

Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:math> pₙ denote the 𝑛-th prime. We prove that, for any <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:math> m≥ 1 , there exist infinitely many 𝑛 such that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> <m:mo>-</m:mo> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>≤</m:mo> <m:msub> <m:mi>C</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:math> pₙ-pₙ₋ₘ≤ Cₘ for some large constant <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>C</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> Cₘ>0 , and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>-</m:mo> <m:msub> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>≥</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>c</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mi>log</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mfrac> </m:mrow> </m:math> pₙ₊₁-pₙ≥{cₘlog nloglog nloglogloglog n}{logloglog n} for some small constant <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>c</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:msub> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> cₘ>0 . Furthermore, for any fixed positive integer 𝑙, there are many positive integers 𝑘 with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>l</m:mi>