F ₄ and PSp (8, ℂ)-Higgs pairs understood as fixed points of the moduli space of E ₆-Higgs bundles over a compact Riemann surface

Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>X</m:mi> </m:math> X be a compact Riemann surface of genus <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:math> g≥ 2 and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>6</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> {{ { M} }}({E}₆) be the moduli space of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>6</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {E}₆ -Higgs bundles over <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>X</m:mi> </m:math> X . We consider the automorphisms <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>σ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>+</m:mo> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {σ }₊ of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>6</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> {{ { M} }}({E}₆) defined by <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>σ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>+</m:mo> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>φ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∗</m:mo> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> <m:mo>−</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>φ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> {σ }₊(E,φ )=({E},-{φ }ᵗ) , induced by the action of the outer involution of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>6</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {E}₆ in <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℳ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>E</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>6</m:mn> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> <jat