फरस्टेनबर्ग सेटों और समतल में ऑर्थोगोनल प्रो젝्शनों के हाउसडॉर्फ आयाम पर

मान लें 0≤s≤1 और 0≤t≤2। एक (s, t) -फरस्टेनबर्ग सेट एक सेट K⊂R2 है जिसमें निम्नलिखित गुण है: एक लाइन सेट L मौजूद है जिसका हाउसडॉर्फ आयाम dimHL≥t है, इस प्रकार कि dimH (K∩ℓ) ≥s सभी ℓ∈L के लिए। हम यह साबित करते हैं कि जब s∈ (0, 1) और t∈ (s, 2] हो, तो R2 में (s, t) -फरस्टेनबर्ग सेटों का हाउसडॉर्फ आयाम 2s+ϵ से कम नहीं है, जहाँ ϵ>0 केवल s और t पर निर्भर करता है। जब s>1∕2 और t=1 हो, तो यह 1999 में वोल्फ के एक परिणाम पर ϵ-सुधार है। वही विधि 1968 में काकफमैन के प्रोजेक्शन थ्योरम के लिए भी ϵ-सुधार देती है। हम दिखाते हैं कि यदि s∈ (0, 1), t∈ (s, 2], और K⊂R2 एक विश्लेषणात्मक सेट है जिसमें dimHK=t है, तो dimHe∈S1: dimHπe (K) ≤s≤s−ϵ, जहाँ ϵ>0 केवल s और t पर निर्भर करता है। यहाँ πe दिशा e में रेखा पर ऑर्थोगोनल प्रक्षिप्ति है।