Approximation of sampling variances and confidence intervals for maximum likelihood estimates of variance components

Summary After reviewing pertinent literature on the estimation of sampling variances and confidence intervals in the maximum likelihood framework, a method to approximate these for individual parameters in a multi‐parameter analysis is described. It is based on the profile likelihood , defined as the likelihood for a subset of parameter(s) of interest with the remaining parameters equal to their maximum likelihood estimates given the former. The formation (= inverse of information) matrix for the parameters of the profile likelihood is equal to the corresponding submatrix from the full likelihood. The likelihood ratio test for composite hypotheses effectively compares points on the profile likelihood surface for the parameters tested. Hence sampling errors and confidence intervals for each parameter can be estimated considering its profile likelihood. This can be approximated fitting a one‐dimensional quadratic or higher order polynomial function. Numerical examples for a balanced hierarchical full‐sib design are given. Zusammenfassung Näherungswerte für Stichprobenvarianzen und Konfidenzintervalle bei Maximum Likelihood Varianzkomponentenschätzung Nach Übersicht über die einschlägige Literatur wird eine Näherungsmethode zur Schätzung solcher Stichprobenvarianzen für individuelle Parameter in eine multi‐Parameter‐Analyse gegeben. Sie beruht auf Profil Likelihood, die die Likelihood für eine Untermenge von Parametern darstellt, wenn die verbleibenden Parameter gleich ihren maximalen Likelihood Schätzungen sind. Die Inversion der Informationsmatrix entspricht der korrespondierenden Submatrix der vollen Likelihood. Das Likelihood Verhältnis für zusammengesetzte Hypothesen vergleicht Punkte der Likelihood Fläche hinsichtlich geprüfter Parameter. Es können also Stichprobenfehler und Konfidenzintervalle für jeden Parameter unter Berücksichtigung der Profil Likelihood geschätzt werden, was durch Anpassen einer eindimensionalen quadratischen oder Funktion höherer Ordnung erreicht wird. Numerische Beispiele für einen bilanzierten hierarchischen Vollgeschwister‐Versuch wurden gegeben.