고차원 PDE의 DNN 표현율 분석: 옵션 가격 책정에의 적용

초록 우리는 옵션 가격 책정에서 발생하는 Kolmogorov 방정식의 다변량 해의 한 클래스에 대한 깊은 ReLU 네트워크의 근사율을 분석합니다. 주요 기술 장치는 텐서 곱을 효율적으로 근사할 수 있는 깊은 ReLU 구조입니다. 이를 원변량 함수의 매끄러운 성질을 충족하는 잘 동작하는 근사에 대한 결과와 결합하여, 이는 텐서 구조를 가진 다변량 함수의 깊은 ReLU 근사율에 대한 통찰을 제공합니다. 우리는 특히 유럽 최대 옵션의 가격을 다룬 문제에 적용하며, 블랙-숄즈 모델을 이용한 유럽 최대 옵션 가격 책정에 대한 d 자산 바스켓의 가격을 사용합니다. 우리는 d-변량 옵션 가격 책정 문제의 해결책이 깊은 ReLU 네트워크에 의해 ε-오차까지 근사될 수 있음을 증명하며, 깊이는 {O}((d)(^-1) + (d)²) O(ln(d) ln(ε - 1) + ln(d)²) 및 {O}(d² + 1{n}^-1{n}) O(d² + 1 n ε - 1 n) 비제로 가중치를 보입니다. 여기서 n {N} n ∈ N은 임의적이며, {O}() O(·)에 포함된 상수는 n에 따라 다릅니다. 구성 증명에서 개발된 기술은 고차원 PDE의 해를 위한 깊은 신경망의 표현력 분석에서도 독립적인 관심을 끈다.