Espaces vectoriels topologiques.

Ce chapitre présente les résultats les plus fondamentaux sur les espaces vectoriels topologiques. À l'exception de la dernière section, le corps scalaire sur lequel les espaces vectoriels sont définis peut être un corps valué K arbitraire et non discret ; K est doté de l'uniformité dérivée de sa valeur absolue. L'objectif de cette généralité est d'identifier clairement les propriétés du corps des nombres réels et complexes couramment utilisés qui sont essentielles pour ces résultats de base. La section 1 discute de la description des topologies des espaces vectoriels en termes de bases de voisinage de 0, et de l'uniformité associée à une telle topologie. La section 2 fournit des moyens de construire de nouveaux espaces vectoriels topologiques à partir de ceux donnés. Les outils standards utilisés lors du travail avec des espaces de dimension finie sont rassemblés dans la section 3, suivie d'une brève discussion sur les sous-espaces affines et les hyperplans (section 4). La section 5 étudie la notion extrêmement importante de bornitude. La métrisabilité est traitée dans la section 6. Cette notion, bien que pas trop importante pour la théorie générale, mérite une attention particulière pour plusieurs raisons ; parmi elles se trouvent son lien avec la catégorie, son rôle dans les applications en analyse, et son rôle dans l'histoire du sujet (cf. Banach 1). En restreignant K aux sous-corps des nombres complexes, la section 7 discute de la transition des corps réels aux corps complexes et vice versa.