Calcul extérieur des éléments finis, techniques homologiques et applications

Le calcul extérieur des éléments finis est une approche de la conception et de la compréhension des discrétisations par éléments finis pour une grande variété de systèmes d'équations différentielles partielles. Cette approche utilise des outils de la géométrie différentielle, de la topologie algébrique et de l'algèbre homologique pour développer des discrétisations compatibles avec les structures géométriques, topologiques et algébriques qui sous-tendent la régularité du problème d'équations différentielles partielles que l'on cherche à résoudre. Dans le calcul extérieur des éléments finis, de nombreux espaces d'éléments finis se révèlent être des espaces de formes différentielles polynomiales par morceaux. Ceux-ci se connectent les uns aux autres dans des sous-complexes discrets de complexes différentiels elliptiques, et sont également liés au complexe elliptique continu par le biais de projections qui commutent avec le différentiel complexe. Des applications sont faites à la discrétisation par éléments finis d'une variété de problèmes, y compris le Laplacien de Hodge, les équations de Maxwell, les équations d'élasticité et les problèmes aux valeurs propres elliptiques, ainsi qu'aux préconditionneurs.