On the stability of the invariant probability measures of McKean–Vlasov equations

On étudie le comportement en temps long d’équations non-linéaires au sens de McKean–Vlasov. Ces équations sont utilisées pour modéliser les comportements de grandes populations d’agents en interaction. On donne des critères garantissant la stabilité locale d’une mesure de probabilité invariante. Pour ce faire, on utilise de manière novatrice les dérivées de Lions. On obtient des résultats pour des équations de McKean–Vlasov non locales sur Rd, ainsi que pour des équations de McKean–Vlasov sur le tore pour lesquelles le noyau d’interaction est donné par une convolution. Sur Rd, on montre que la stabilité est déterminée par l’emplacement des zéros d’une fonction holomorphe. Sur le tore, notre critère de stabilité fait intervenir les coefficients de Fourier du noyau d’interaction. Dans les deux cas, on montre la convergence vers la mesure de probabilité invariante à vitesse exponentielle pour la métrique de Wasserstein W1.