Réduction quadratique pour de grandes matrices de covariance

Cet article construit un nouvel estimateur pour de grandes matrices de covariance en établissant un lien entre l'estimateur classique (Stein (1975)) dans des échantillons finis et les progrès récents sous les asymptotiques de grande dimension. L'estimateur conserve les vecteurs propres de la matrice de covariance de l'échantillon et applique une réduction aux valeurs propres inverses de l'échantillon. La formule correspondante est quadratique : elle a deux cibles de réduction pondérées par des fonctions quadratiques de la concentration (c'est-à-dire, la dimension de la matrice divisée par la taille de l'échantillon). La première cible domine les concentrations de niveau intermédiaire et la seconde les niveaux supérieurs. Ce degré de liberté supplémentaire nous permet de surpasser la réduction linéaire lorsque la réduction optimale n'est pas linéaire, ce qui est le cas général. Nos deux cibles sont basées sur ce que nous appelons le “réducteur de Stein”, un opérateur d'attraction local qui tire les valeurs propres de la matrice de covariance de l'échantillon vers leurs voisins les plus proches, mais dont la force diminue avec la distance (comme la gravitation). Nous prouvons qu'aucune non-linéarité cubique ou d'ordre supérieur ne surpasse la quadratique en ce qui concerne la perte de Frobenius sous les asymptotiques de grande dimension. La non-normalité et le cas où la dimension de la matrice dépasse la taille de l'échantillon sont pris en compte. Les simulations de Monte Carlo confirment des performances de pointe en termes de précision, de rapidité et d'évolutivité.