Sistema hiperbólico de Einstein-Bianchi para la relatividad general

Consideramos la parte de evolución del problema de Cauchy en la Relatividad General 8 como la historia temporal de las dos formas fundamentales de una hipersuperficie espacial: su métrica g y su curvatura extrínseca K. En una hipersuperficie así, por ejemplo una "inicial", estas dos formas cuadráticas deben satisfacer cuatro ecuaciones de valor inicial o de restricción. Estas restricciones pueden ser planteadas y resueltas como un sistema elíptico mediante métodos conocidos que no se discutirán aquí. (Ver, por ejemplo, 8.) El tensor de Ricci de la métrica del espacio-tiempo puede ser mostrado en una descomposición sencilla 3 + 1 dando las derivadas temporales de g y K en términos de las derivadas espaciales de estas cantidades. Estas expresiones también contienen las funciones de lapso y de desplazamiento que caracterizan el entrelazamiento de las hipersuperficies espaciales por líneas de tiempo. Sin embargo, la prueba de la existencia de una evolución causal en espacios de Sobolev locales hacia un espacio-tiempo einsteniano no resulta directamente de estas ecuaciones, las cuales no forman un sistema hiperbólico para un lapso y desplazamiento arbitrarios, a pesar de que sus características son solo el cono de luz y la normal a las secciones de tiempo 13.