Hyperbolic groups with low-dimensional boundary

If a torsion-free hyperbolic group G has 1-dimensional boundary ∂∞G, then ∂∞G is a Menger curve or a Sierpinski carpet provided G does not split over a cyclic group. When ∂∞G is a Sierpinski carpet we show that G is a quasi-convex subgroup of a 3-dimensional hyperbolic Poincaré duality group. We also construct a “topologically rigid” hyperbolic group G: any homeomorphism of ∂∞G is induced by an element of G. Soit G un groupe hyperbolique (au sens de Gromov) sans torsion. Si la dimension topologique du bord ∂∞G est égale à un, et G n'est ni un produit amalgamé, ni une extension HNN sur un groupe cyclique, on montre que ∂∞G est homéomorphe à l'éponge de Menger ou au tapis de Sierpinski. Si ∂∞G est homéomorphe au tapis de Sierpinski, on montre que G est isomorphe à un sous-groupe quasi convexe d'un groupe de dimension trois de dualité de Poincaré. On construit un exemple d'un groupe hyperbolique G qui est “topologiquement rigide”: chaque homéomorphisme du bord ∂∞G est induit par un élément g∈G.