चयन偏差 मॉडल में अनुभवात्मक वितरण

अगले समस्या पर विचार किया गया है: एक अज्ञात वितरण F से अनिवार्य रूप से यादृच्छिक नहीं s नमूने दिए गए हैं, और यह मानते हुए कि हम प्रत्येक नमूने के लिए सैंपलिंग नियम को जानते हैं, क्या नमूनों को इस तरह मिला कर F का अनुमान लगाना संभव है, और यदि हां, तो इसे करने का स्वाभाविक तरीका क्या है? अधिक औपचारिक रूप से, यह NPMLE (गैर-पैरामीट्रिक अधिकतम संभावना अनुमान) की समस्या में बदल जाता है, जो कि F के वजन वाले रूपों से s नमूनों के आधार पर होता है, जिनके लिए वजन फ़ंक्शन ज्ञात हैं, और यदि यह मौजूद है, तो इसे कैसे बनाया जाए? हम एक सरल आवश्यक और पर्याप्त शर्त देते हैं, जिसे ग्राफ़िकली चेक किया जा सकता है, NPMLE की उपस्थिति और विशिष्टता के लिए, और इस शर्त के तहत, हम इसे बनाने के लिए एक सरल विधि का वर्णन करते हैं। यह विधि संख्यात्मक रूप से कुशल और गणितीय रूप से दिलचस्प है क्योंकि यह समस्या को s - 1 गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने में घटित करती है जिनमें s - 1 अज्ञात हैं, जिसका अद्वितीय समाधान पत्र में वर्णित आवर्ती, गॉस-सेइडल प्रकार की योजना द्वारा आसानी से प्राप्त होता है। जब वजन फ़ंक्शन पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं होते हैं और सेंसर किए गए नमूनों के लिए विस्तारण, अनुप्रयोग, संख्यात्मक उदाहरण, और NPMLE के सांख्यिकीय गुणों पर चर्चा की गई है। विशेष रूप से, हम इस शर्त के तहत साबित करते हैं कि NPMLE F के लिए एक पर्याप्त सांख्यिक है। यह तकनीक कई संभावित अनुप्रयोगों रखती है, क्योंकि यह उन मामलों तक सीमित नहीं है जहां नमूने अविवेकी होते हैं। वर्णित एल्गोरिदम के लिए एक FORTRAN प्रोग्राम लेखक से उपलब्ध है.