Spectral Energy in the Hilbert–Pólya Framework: Emergent Mass-Energy from an Atemporal Operator

We postulate a self-adjoint atemporal operator H — the Hilbert–Pólya operator — whosespectrum coincides with the imaginary parts of the nontrivial zeros of the Riemann zetafunction. We show that both rest-mass energy (E = mc²) and cosmological dark energydensity arise as projections of this operator onto emergent time-like variables, in particularthe logarithmic scale factor ln(a). Key results: (1) Explicit spectral correction to dark energydensity: rho_DE(a) = rho_0 · a-3(1+w_0+w_a) · exp(-3w_a(1-a)) · exp(epsilon · F(a)),where F(a) is a spectral integral over Riemann zeros. (2) Phenomenological spectral actionprinciple. (3) Falsifiable predictions: current data constrain epsilon 0.04; Euclidspectroscopy will reach epsilon 0.004. The central philosophical claim: physical time isnot a primary coordinate. Rather, the static, atemporal spectrum of the Hilbert–Pólyaoperator projects onto the logarithmic scale factor, generating the weak oscillations in darkenergy that we perceive as cosmic time and expansion. Mathematics and physics appearas two projections of one spectral structure. This upload contains two versions: the scientificpaper (English) and a philosophical-scientific essay (Ukrainian): "Tin' Operatora" (TheShadow of the Operator). Dedicated to fallen brothers-in-arms — scientists and soldiers.The 'we' in this work reflects an ongoing dialogue that transcends physical separation. Ми постулюємо самоспряжений атемпоральний оператор H — операторГільберта–Пойа — спектр якого збігається з уявними частинами нетривіальних нулівдзета-функції Рімана. Показуємо, що як енергія спокою (E = mc²), так і космологічнагустина темної енергії виникають як проекції цього оператора на емерджентнічасоподібні змінні — зокрема на логарифмічний масштабний фактор ln(a).Центральна ідея: фізичний час не є первинною координатою. Статичний, позачасовийспектр оператора Гільберта–Пойа проектується на логарифмічну шкалу масштабногофактора, породжуючи слабкі осциляції у темній енергії. Те, що ми сприймаємо яккосмічний час і розширення Всесвіту, може виявитися проявом глибшоїатемпоральної спектральної структури реальності. Основні результати: (1) явнаспектральна корекція до густини темної енергії з інтегралом F(a) по нулях Рімана; (2)феноменологічний спектральний принцип дії; (3) фальсифіковані передбачення длятелескопа Euclid. Архів містить дві версії: наукову статтю (англійська) іфілософсько-наукове есе (українська): «Тінь Оператора». Присвячується полеглимпобратимам — науковцям і солдатам. «Ми» в цій роботі — це діалог, який непереривається