On a combinatorial identity of Akyuz and Halici

Inspired by a combinatorial identity given by Akyuz and Halici, we present three closely related summation formulas. One of our results states that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:munderover> <m:mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true">∑</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ν</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">[</m:mo> <m:mfrac> <m:mi>n</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:mfrac> <m:mo stretchy="false">]</m:mo> </m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>j</m:mi> </m:mrow> </m:munderover> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mfrac linethickness="0pt"> <m:mrow> <m:mi>ν</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>j</m:mi> </m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mfrac> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mfrac linethickness="0pt"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ν</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>j</m:mi> </m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mi>ν</m:mi> </m:mfrac> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mfrac linethickness="0pt"> <m:mi>n</m:mi> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ν</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>j</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mn>2</m:mn> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>j</m:mi> </m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mfrac> <m:mi>n</m:mi> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>j</m:mi> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mfrac linethickness="0pt"> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>j</m:mi> </m:mrow> <m:mi>j</m:mi> </m:mfrac> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mfrac linethickness="0pt"> <m:mi>j</m:mi> <m:mi>m</m:mi> </m:mfrac> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> see text ∑ν=0[n/2]-j{ν+j m}{ν+j-mν}{n 2(% ν+j)}=2ⁿ⁻²ʲ⁻¹n/n-j{n-j j}{j m}, where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> {m≥ 0} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>j</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> {j≥ 0} and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:math> {n≥ 1} are integers with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>j</m:mi>