Métodos Log-PDE para Núcleos de Assinatura Rugosos

Resumo. Os núcleos de assinatura, produtos internos de assinaturas de caminhos, sustentam vários algoritmos de aprendizado de máquina para análise de séries temporais multivariadas. Para caminhos de variação limitada, o núcleo de assinatura foi recentemente demonstrado como solução de uma PDE de Goursat. No entanto, os resolvedores de PDE existentes utilizam apenas incrementos como dados de entrada, levando a erros de aproximação de primeira ordem. Essas abordagens tornam-se computacionalmente intratáveis para caminhos de entrada altamente oscilatórios, pois precisam ser resolvidas em uma escala suficientemente fina para recuperar com precisão seu núcleo de assinatura, resultando em complexidades significativas de tempo e memória. Neste artigo, estendemos a análise para caminhos rugosos e mostramos, alavancando a estrutura de caminhos rugosos suaves, que os núcleos de assinatura rugosos resultantes podem ser aproximados por um novo sistema de PDEs cujos coeficientes envolvem integrais iteradas de ordem superior dos caminhos rugosos de entrada. Mostramos que este sistema de PDEs admite uma solução única e estabelecemos limites quantitativos de erro que proporcionam uma aproximação de ordem superior para núcleos de assinatura rugosos.