Nonlinear Scalar Field Equations with L ² Constraint: Mountain Pass and Symmetric Mountain Pass Approaches

We study the existence of radially symmetric solutions of the following nonlinear scalar field equations in <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> </m:math> {RN} ( <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:math> {N≥ 2} ): (*)ₘ <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>{</m:mo> <m:mtable columnspacing="5pt" rowspacing="0pt"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo separator="true"> </m:mo> <m:mrow> <m:mtext>in </m:mtext> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mo fence="true" stretchy="false">∥</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo fence="true" stretchy="false">∥</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>L</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:msubsup> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>H</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd/> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:math> {cases}-Δ u=g(u)-μ u RN,% u_{L²(RN)}²=m, u∈ H¹(RN)% ,{cases} where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>ξ</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mi>C</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>ℝ</m:mi> <m