Running of the Electroweak Gauge Couplings from First Principles

We present a high-precision calculation of the hadronic running of electroweak gauge couplings from first principles. Employing lattice QCD in the low-energy regime, we achieve permille precision for virtualities <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <a:mrow> <a:msup> <a:mrow> <a:mi>Q</a:mi> </a:mrow> <a:mrow> <a:mn>2</a:mn> </a:mrow> </a:msup> <a:mo>≲</a:mo> <a:mn>12</a:mn> <a:mtext> </a:mtext> <a:mtext> </a:mtext> <a:msup> <a:mrow> <a:mi>GeV</a:mi> </a:mrow> <a:mrow> <a:mn>2</a:mn> </a:mrow> </a:msup> </a:mrow> </a:math> . At <c:math xmlns:c="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <c:mrow> <c:msup> <c:mrow> <c:mi>Q</c:mi> </c:mrow> <c:mrow> <c:mn>2</c:mn> </c:mrow> </c:msup> <c:mo>≃</c:mo> <c:mn>1</c:mn> <c:mtext> </c:mtext> <c:mtext> </c:mtext> <c:msup> <c:mrow> <c:mi>GeV</c:mi> </c:mrow> <c:mrow> <c:mn>2</c:mn> </c:mrow> </c:msup> </c:mrow> </c:math> , our determination deviates by up to <e:math xmlns:e="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <e:mn>7</e:mn> <e:mi>σ</e:mi> </e:math> from estimates based on <g:math xmlns:g="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <g:msup> <g:mi>e</g:mi> <g:mo>+</g:mo> </g:msup> <g:msup> <g:mi>e</g:mi> <g:mo>−</g:mo> </g:msup> </g:math> measurements. Combining lattice QCD with perturbative QCD via the Euclidean split technique, we obtain for the electromagnetic coupling <i:math xmlns:i="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <i:mrow> <i:mi mathvariant="normal">Δ</i:mi> <i:msubsup> <i:mrow> <i:mi>α</i:mi> </i:mrow> <i:mrow> <i:mi>had</i:mi> </i:mrow> <i:mrow> <i:mo stretchy="false">(</i:mo> <i:mn>5</i:mn> <i:mo stretchy="false">)</i:mo> </i:mrow> </i:msubsup> <i:mo stretchy="false">(</i:mo> <i:msubsup> <i:mrow> <i:mi>M</i:mi> </i:mrow> <i:mrow> <i:mi>Z</i:mi> </i:mrow> <i:mrow> <i:mn>2</i:mn> </i:mrow> </i:msubsup> <i:mo stretchy="false">)</i:mo> <i:mo>=</i:mo> <i:mn>0.027821</i:mn> <i:mo stretchy="false">(</i:mo> <i:mn>34</i:mn> <i:msub> <i:mrow> <i:mo stretchy="false">)</i:mo> </i:mrow> <i:mrow> <i:mi>lat</i:mi> </i:mrow> </i:msub> <i:mo stretchy="false">(</i:mo> <i:mn>35</i:mn> <i:msub> <i:mrow> <i:mo stretchy="false">)</i:mo> </i:mrow> <i:mrow> <i:mtext>pQCD</i:mtext> </i:mrow> </i:msub> </i:mrow> </i:math> , which is more than twice as precise as recent phenomenological determinations. We assess improvement scenarios by which the precision target for next-generation electroweak measurements could be reached.