The global Cauchy problem for the non linear Klein-Gordon equation-II

We study the Cauchy problem for a class of non linear Klein–Gordon equations of the type \"{φ }−Δφ + f(φ ) = 0 by a contraction method. We prove the existence and uniqueness of strongly continuous global solutions in the energy space H^1(ℝ^n)⊕ L^2(ℝ^n) for arbitrary space dimension n under assumptions on f that cover the case of a sum of powers λ|φ|p −1 φ with 1≦p < 1+4/(n−2) , n≧2 and λ >0 for the highest p . This provides an alternative proof of existence and uniqueness to that presented in a previous paper [7]. Some of the results can be extended to the critical case p = 1+4/(n−2) . Résumé On étudie le problème de Cauchy pour une classe d’équations de Klein–Gordon non linéaires du type \"{φ }−Δφ + f(φ ) = 0 par une méthode de contraction. On prouve l’existence et l’unicité de solutions méthode de contraction. On prouve l’existence et l’unicité de solutions gobales fortement continues dans l’espace d’énergie H^1(ℝ^n)⊕ L^2(ℝ^n) pour une dimension d’espace n quelconque, avec des hypothèses sur f qui couvrent le cas d’une somme de puissances λ|φ|p −1 φ avec 1≦p < 1+4/(n−2) , n≧2 et λ > 0 pour la valeur de p la plus élevée. On obtient ainsi une démonstration de l’existence et de l’unicité différente de celle donnée dans un article précédent [7]. Une partie des résultats s’étend au cas critique p = 1+4/(n−2) .