On nonhomogeneous elliptic equations involving critical Sobolev exponent

Let p = 2\:N/N−2 , N ≧ 3 be the limiting Sobolev exponent and Ω⊂ ℝN open bounded set. We show that for f∈ H⁻¹ satisfying a suitable condition and f ≠ 0 , the Dirichlet problem: {align*} −Δ u &= |u|ᵖ⁻²u + f\:&&on \:Ω \\ u &= 0\:&&on \:∂Ω {align*} admits two solutions u_0 and u_1 in H₀¹(Ω ) . Also u_0 ≧ 0 and u_1 ≧ 0 for f ≧ 0 . Notice that, in general, this is not the case if f = 0 ( see [P]). Résumé Soit p = 2N/N−2 l’exposant de Sobolev critique et Ω ⊂ ℝN un domaine borné. On montre que si f∈ H⁻¹ , f ≠ 0 satisfait une certaine condition alors le problème de Dirichlet : ∆u = |u|p − 2u + f dans Ω et u = 0 dans ∂Ω , admet deux solutions u_0 et u_1 dans H₀¹(Ω ) . De plus u_0 ≧ 0 et u_1 ≧ 0 si f ≧ 0 . On remarque que ce n’est pas le cas, en général, si f = 0 ( voir [P]).