Modules de Hodge Polarisables

Proposition 1. Soient/: X-* Y comme dans le théorème 1, et (M, F, K; W) un Module de Hodge W-filtré fortement polarisé par N, S avec poids vr.ii) /:(M-j f*(M 9 F 9 K) 9 W[-jy^(M'f*(M 9 F^ pour j>0.iii) La partie l-primitive (P t M~j f*(M, F, K), W[-j]) est fortement polarisée par N, (-iy cy " 1)/2 *c^/*So(/W® /') avec poids w-jpourj>0.Ici ^sur I MJ*K n'est pas strict; la filtration W sur M j \ M, p M j f*K est Jf f r J/ définie par l'image de M 3 \ W P M dans M 5 \ M, etc.Jf Jf D'après le lemme 1 et le théorème 1, la preuve de la proposition 1 est réduite à un lemme de structure de Hodge bi-graduée polarisée (cf.5.3.6)en utilisant la suite spectrale:qui dégénère en F 2 , cf. 5.3.5.Pour la preuve du théorème 1 on peut supposer que (M,F,K)^MH Z (X, w).Si dim /(Z) =1=0, on prend toutes les fonctions g localement définies sur Y telles que f' 1 g~) ne contient pas Z.On applique la proposition 1 à Ur gf (M, F, K), W), ( gf>1 (M, F, K), W\ et on utilise 3.3.17,cf.5.3.4.Si dim /(Z)=0, on peut supposer que X=P m , Y=pt d'après le lemme 2, et on prend un pinceau de Lefschetz en sorte que l'assertion est réduite au cas où / se factorise par un morphisme plat X-*P l .Alors on applique le même argument