Nondegeneracy of blow-up points for the parabolic Keller–Segel system

This paper is concerned with the parabolic Keller–Segel system \{{matrix} uₜ = ∇ · (∇u−uᵐ∇v) & in Ω × (0,T), \\ Γ vₜ = Δ v−λ v + u & in Ω × (0,T), \\ {matrix}. in a domain Ω of RN with N⩾1 , where m,Γ > 0 , λ ⩾0 are constants and T > 0 . When Ω ≠ RN , we impose the Neumann boundary conditions on the boundary. Under suitable assumptions, we prove the local nondegeneracy of blow-up points. This seems new even for the classical Keller–Segel system ( m = 1 ). Lower global blow-up estimates are also obtained. In the singular case 0 < m < 1 , as a prerequisite, local existence and regularity properties are established. Résumé Dans cet article, nous étudions le système parabolique de Keller–Segel \{{matrix} uₜ = ∇ · (∇u−uᵐ∇v) & dans Ω × (0,T), \\ Γ vₜ = Δ v−λ v + u & dans Ω × (0,T), \\ {matrix}. avec Ω un domaine de RN , N⩾1 , où m,Γ > 0 , λ ⩾0 sont des constantes et T > 0 . Lorsque Ω ≠ RN , les conditions aux limites de Neumann sont prescrites sur le bord. Sous des hypothèses convenables, nous prouvons la non-dégénérescence locale des points d'explosion. Ce résultat semble nouveau même dans le cas du système de Keller–Segel classique ( m = 1 ). Des estimations inférieures globales de la vitesse d'explosion sont également obtenues. Dans le cas singulier 0 < m < 1 , nous établissons les propriétés nécessaires d'existence locale et de régularité.